无穷小的比较习题

前置知识：无穷小的比较

例题1

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}$

解：原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-(-x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{x}=2$

例题2

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}-\cos x}{x\ln (1+2x)}$

解：原式$=\frac{e^{x^2}-1+1-\cos x}{x\cdot 2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}-1}{2x^2}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{2x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{2x^2}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{2x^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

例题3

当$x\to 0$时，有无穷小量$\alpha =1-\cos 2x,\beta =\tan x-\sin x,\gamma =\sqrt{1-{\sin }^{4}x}-1$，将$\alpha ,\beta ,\gamma$按后一个是前一个的高阶无穷小的顺序排列。

解：
$\alpha =1-\cos 2x=\frac{1}{2}(2x{)}^2=2x^2$

$\beta =\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)=x\cdot \frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{2}{x}^3$

$\gamma =\sqrt{1-{\sin }^{4}x}-1=-\frac{1}{2}{\sin }^{4}x=-\frac{1}{4}{x}^4$

\qquad综上所述，排列顺序为$\alpha ,\beta ,\gamma$